अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = (x - y)^2 का हल ज् | vedclass

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Question

(B) माना $u = x - y$ है। तब $\frac{du}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$ है।$\frac{dy}{dx} = u^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 - \frac{du}{dx} = u^2$ प्राप्त ह

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$- \log_e \left| \frac{1 - x + y}{1 + x - y} \right| = 2(x - 1)$

Vedclass · Answer

(B) माना $u = x - y$ है। तब $\frac{du}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$ है।$\frac{dy}{dx} = u^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 - \frac{du}{dx} = u^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{du}{dx} = 1 - u^2$ है।चरों को अलग करने पर,$\frac{du}{1 - u^2} = dx$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{du}{1 - u^2} = \int dx$,जिससे $\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + u}{1 - u} \right| = x + C$ प्राप्त होता है।$u = x - y$ रखने पर,हमें $\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = x + C$ प्राप्त होता है।प्रतिबंध $y(1) = 1$ का उपयोग करने पर,$x = 1, y = 1$,इसलिए $u = 1 - 1 = 0$ है।$\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + 0}{1 - 0} \right| = 1 + C \Rightarrow 0 = 1 + C \Rightarrow C = -1$ है।अतः,$\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = x - 1$,जिसे सरल करने पर $\log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = 2(x - 1)$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,$- \log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = -2(x - 1)$,जो $- \log_e \left| \frac{1 - x + y}{1 + x - y} \right| = 2(x - 1)$ के बराबर है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (x - y)^2$ का हल ज्ञात कीजिए,जब $y(1) = 1$ है।

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